Modeling and numerical simulation of tokamak plasmas : axisymmetric steady states with finite flows
Modélisation et simulation des plasmas de tokamak : états stationnaires axisymétriques à flot non nul
Résumé
The usual equilibrium states in tokamak plasmas are solutions of the Grad-Shafranov equation. It is assumed that the plasma, seen as a conductive fluid, has zero velocity. Experimentally, there are many observations of spontaneous rotation in tokamaks, especially in the toroidal direction. This rotation proves to have important effects on the improvement of the confinement and on the entrance into the H-mode of improved confinement in tokamaks. To clarify these experimental observations, we propose to determine numerically the axisymmetric steady-states of the non-linear equations of visco-resistive magnetohydrodynamics obtained by reintroducing the convective term (v. grad)v. We take into account the external electric field in the toroidal direction used to create the toroidal current required in a tokamak to create the poloidal component of the magnetic field. We present numerical results obtained using the open source code FreeFem ++ in the geometries of tokamaks of the JET and ITER type in the case of a uniform resistivity and with no magnetic perturbation. Furthermore, we have considered realistic values of the resistivity η and we have varied the viscosity ν, of which the realistic order of magnitude is poorly known. We define a control parameter called the Hartman number H, a dimensionless number which evaluates both the viscosity and the resistivity H=(ην)-1/2. We observe that, the more H increases, the more the velocity in the toroidal direction increases. Moreover, all other things being equal, the characteristic toroidal speed is a growing function of the temperature of the plasma and is greater in ITER geometry than in JET. We show in a second step the effect of a small perturbation of the magnetic configurations on the plasma velocity in the toroidal direction. The tokamak up-down symmetry is broken for weak axisymmetric perturbation β(x,y), and the rotation of the plasma increases. Another way to increase plasma rotation is to introduce a resistivity η(T)which depends on the plasma temperature. We present results for various up-down temperature variation ∆T. The latter has an effect of increasing the plasma velocity. The visco-resistive MHD model detailed in chapter 3 is solved using the finite element method that uses FreeFem ++ that is an open source code to solve partial differential equations.
La détermination classique des équilibres des plasmas de tokamaks repose sur la résolution de l'équation de Grad-Shafranov. On y suppose que le plasma, vu comme un fluide conducteur, a une vitesse nulle. Expérimentale-ment, il existe de nombreuses observations d'une rotation spontanée dans les tokamaks notamment dans la direction toroïdale. Cette rotation du plasma s'avère avoir des effets très importants sur l'amélioration du confinement et le pas-sage dans le mode H de confinement amélioré. Pour éclaircir ces observations expérimentales, nous nous proposons de déterminer numérique-ment les états stationnaires axisymétriques des équations non-linéaires de la magnétohydrodynamique visco-résistive obtenues en réintroduisant le terme convectif. Cette étude doit prendre en compte le forçage dû à la présence d'un champ électrique extérieur dans la direction toroïdale servant à créer le courant toroïdal nécessaire dans un tokamak à la création de la composante poloïdale du champ magnétique. Nous présentons d'abord des résultats numériques obtenus dans les géométries de tokamak de type JET et ITER dans le cas d'une résistivité uniforme et sans perturbation magnétique. Nous avons considéré des valeurs réalistes de la résistivité et nous avons fait varier la viscosité, dont l'ordre de grandeur réaliste est mal connu. On définit un paramètre de contrôle appelé le nombre de Hartman H, nombre sans dimension qui implique à la fois la viscosité et la résistivité H=(ην)-1/2. Plus H augmente plus la vitesse dans la direction toroïdale augmente. De plus, toutes choses égales par ailleurs, la vitesse toroïdale caractéristique est une fonction croissante de la température du plasma et est plus grande en géométrie ITER que dans JET. On montre dans un deuxième temps l'effet d'une petite perturbation des configurations magnétiques sur la variation de la vitesse toroïdale. La symétrie est brisée pour de faibles perturbations axisymétriques. Par conséquent, la vitesse de rotation du plasma augmente. L'étude précédente considère une résistivité uniforme. On montre qu'un chauffage localisé, en introduisant une résistivité η(T)qui dépend de la température, conduit à une augmentation de la vitesse allant jusqu'à quatre ordres de grandeur de vitesses toroïdales par rapport à la situation avec une température uniforme pour des nombres de Hartmann identiques. Des résultats numériques pour plusieurs variations de température (∆T) sont présentés. Dans toutes ces simulations, le modèle MHD visco-résistif, détaillé dans le chapitre 3,est résolu à l'aide de la méthode des éléments finis en utilisant le code open source FreeFem++ de résolution numérique d'équations aux dérivées partielles.
Origine : Version validée par le jury (STAR)