Estimates of discrete spectrum of operators defined by unbounded infinite matrices and the quantum Rabi model
Estimations du spectre discret des opérateurs définis par des matrices infinies non bornées et le modèle quantique de Rabi
Résumé
The quantum Rabi model, which describes the interactions between a two-level system and a single-mode quantum field, is considered as a fundamental model in quantum optics, circuits quantum dynamics, analysis of superconducting qubits etc. The aim of this thesis is to study eigenvalues of self-adjoint operators defined by the quantum Rabi model.
The first part of the thesis is devoted to the asymptotic analysis of large eigenvalues of the quantum Rabi model with an additional parameter ε, called the bias of the model. We give the asymptotic behavior of the n-th eigenvalue with error of the form O(n−1/2 ln n) as n tends to infinity. It appears that some values of ε present an additional difficulty due to the fact that one must consider the perturbations of double eigenvalues and, in this case, the asymptotic formula contains an oscillating term of order n−1/4. These results are new in the case ε ̸= 0. We also obtain analogue results for the two-photon quantum Rabi model. The error estimate O(n−1 ln n) for this model is new even in the case ε = 0 and the three-term asymptotic formula can be considered as a generalized rotating wave approximation for the two-photon quantum Rabi model.
Another part of the thesis is devoted to the perturbation theory for operators defined in the Hilbert space of square summable sequences by means of tridiagonal unbounded matrices. In order to study the quality of the approximation of the quantum Rabi model by the JaynesCummings model (the rotating wave approximation), we are interested in the dependence of the eigenvalues on the coupling constant in the case of perturbations of double eigenvalues. Thanks to a development of the Schrieffer-Wolff theory of quasi- degenerate perturbations, we obtain explicit estimates of the convergence radius of the perturbation series and explicit error estimates.
Le modèle quantique de Rabi, décrivant les interactions entre un système à deux niveaux et un mode du champ quantique, est considéré comme un modèle fondamental dans l’optique quantique, l’électrodynamique de circuits, l’étude de qubits supraconducteurs etc. L’objectif de cette thèse est une étude des valeurs propres des opérateurs auto adjoints définis par le modèle quantique de Rabi.
Une partie de la thèse est consacrée à l’étude asymptotique des grandes valeurs propres pour le modèle quantique de Rabi avec un paramètre supplémentaire ε, appelé le biais du modèle. On décrit le comportement asymptotique de la n-ième valeur propre avec l’erreur O(n−1/2 ln n) lorsque n tend vers l’infini. Il s’avère que certaines valeurs de ε présentent une difficulté supplémentaire due au fait que l’on doit considérer une perturbation de valeurs propres doubles et dans ce cas la formule asymptotique comporte un terme oscillant d’ordre n−1/4. Ces résultats sont nouveaux dans le cas ε ̸= 0. On obtient aussi des résultats analogues pour le modèle de Rabi à deux photons. L’estimation d’erreur O(n−1 ln n) pour ce modèle est nouveau même dans le cas ε = 0 et la formule asymptotique à trois termes peut être considérée comme une généralisation de l’approximation de l’onde tournant pour le modèle de Rabi à deux photons.
Une autre partie de la thèse est consacrée à la théorie des perturbations pour une classe des opérateurs définis dans l’espace de Hilbert des suites de carré sommable par des matrices tridiagonales non bornées. Afin d’étudier la qualité de l’approximation du modèle de Rabi par le modèle de Jaynes-Cummings (l’approximation de l’onde tournant) on s’intéresse au comportement des valeurs propres en fonction du paramètre de couplage dans le cas de la perturbation des valeurs propres doubles. Grâce à un développement de la théorie de perturbations quasi-dégénérées de Schrieffer-Wolff, on obtient des estimations explicites du rayon de convergence de la série perturbative et des estimations d’erreur.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)